Краткое введение в полиномиальную модулярную арифметику | Абстрактная алгебра | Поликольца | Догм...

В этом видео мы практикуемся в решении сравнений многочленов в кольце F3[x] по модулю многочлена x^2 + x. Начнём с рассмотрения случая целых чисел, где числа, такие как 7, сокращаются по модулю 3 до 1, и используем это в качестве аналогии с сокращением многочленов по модулю x^2 + x. После того, как F3 содержит элементы 0, 1 и 2, и все коэффициенты берутся из этого поля, мы используем ключевое соотношение x^2 + x ≡ 0 mod x^2 + x, которое подразумевает, что x^2 ≡ 2x в F3[x]. Используя это, мы сводим x^3 + 2 к более простому виду a(x) ≡ x + 2 mod x^2 + x, а затем делаем то же самое для x^4 + 2x^2 + 1, чтобы найти постоянный вид b(x) ≡ 1. Попутно мы закрепим, как переписать высшие степени x через многочлены низшей степени с помощью сравнений, и как каждый многочлен сворачивается в нечто, степень которого меньше модуля. Эти примеры представляют собой краткое введение в модульную арифметику многочленов в факторкольцах перед переходом к более сложным задачам.

   • Beginner’s Guide to Congruence Classes and...  
   • The Secret Structure Hidden Inside F2[x] m...  
   • Master Congruences In Less Than 25 Minutes...  
   • Why One Shared Polynomial Forces Equality ...  
   • The Cleanest Ring Homomorphism Proof You’l...  
   • Abstract Algebra  

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ СВОЙСТВА И ПОНЯТИЯ
Аналогия между целыми числами и многочленами
Конечное поле F3 и его элементы
Кольцо многочленов F3[x]
Кольцо частных по модулю x^2 + x
Отношение x^2 + x сравнимо с 0 по модулю x^2 + x
Использование x^2, сравнимого с 2x, для понижения высших степеней
Нахождение A(x) для x^3 + 2 mod x^2 + x
Нахождение B(x) для x^4 + 2x^2 + 1 mod x^2 + x
Классы вычетов, представленные многочленами низкой степени

ГЛАВЫ:
00:00 Введение
00:40 Обзор целочисленных конгруэнтностей и аналогия
01:20 Определение F3 и коэффициентов многочленов
02:10 Использование x^2 + x, конгруэнтных 0, и x^2, конгруэнтных 2x
03:10 Сокращение x^3 + 2 для нахождения A(x)
04:30 Сокращение x^4 + 2x^2 + 1 для нахождения B(x)
05:40 Интерпретация результатов в факторкольце
06:50 Заключение и дальнейшие шаги в многочленах по модулю
08:00 Спасибо за просмотр

#dogmathic #abstractAlgebra #polynomials #modularArithmetic #частныекольца #конечныеполя #математическийруководство